ARTI PENTING ANALISIS NUMERIK

BAB I
ARTI PENTING ANALISA NUMERIK
Pendahuluan
Di dalam proses penyelesaian masalah yang berkaitan dengan bidang sains,
teknik, ekonomi dan lain sebagainya, suatu keadaan fisis pertama-tama harus dikonvesi
ke dalam suatu model matematis. Hal ini sering disebut dengan formulasi masalah.
Analisa numerik, selanjutnya, digunakan sebagai alat untuk mengembangkan
suatu teknik dalam usaha menemukan suatu penyelesaian atau lebih tepatnya pendekatan
penyelesaian terhadap persamaan matematis yang meggambarkan model tersebut. Akan
tetapi, penyelesaian terhadap persamaan itu sering memunculkan masalah matematis baru
yang sulit untuk ditangani secara analitis. Sebagai contoh, untuk masalah integrasi,
misalnya diminta untuk menemukan harga 1 2
0
e- x dx ò , kemudian untuk persamaan nonlinier
misalnya diminta menyelesaikan persamaan cos x = x , dan untuk masalah aljabar
linier diperintahkan mencari swanilai untuk matriks yang besar.
Jelas, bahwa masalah-masalah tersebut meskipun kelihatannya sederhana dan
sepele, namun dalam kenyataanya sangat sulit untuk diselesaikan secara analitis. Satusatunya
metode yang diharapkan mampu menyelesaikan masalah tersebut hanyalah
metode numerik.
Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas, sekarang akan kita tinjau sebuah
persamaan matematika dalam bentuk seperti di bawah ini yaitu
x = e- x (1-1)
Setelah itu kita diminta untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Apa yang dapat
kita lakukan terhadap persamaan itu. Dapatkah Saudara menyelesaikan persamaan
matematika tersebut dengan eksak? Jika Saudara dapat menyelesaikan dengan sempurna
persamaan tersebut, mungkin anda termasuk manusia luar biasa. Baiklah, disini kita akan
mencoba menyelesaikan persamaan tersebut melalui analisis numerik.
Sebagai langkah awal kita akan menampilkan fungsi f (x) dan f ( x) = e- x yang
berpotongan di suatu titik tertentu seperti terlihat pada gambar 4.1. Juga, kita akan
1
menampilkan grafik fungsi f ( x) = x - e- x yang memotong sumbu x di suatu tertentu
yang apabila diperhatikan harga absis antara grafik fungsi f (x) dan f ( x) = e- x
berharga sama dengan harga absis pada perpotongan grafik fungsi f (x) = x - e- x .
Selengkapnya kita dapat melihat pada gambar 4.2.
2
Gambar 4.1. Perpotongan antara grafik fungsi dan
Gambar 4.2. Perpotongan grafik fungsi dengan sumbu x
Dengan salah satu metode yang dikenal dalam analisis numerik yaitu metode
grafis, harga x yang memenuhi untuk persamaan (4-1) dapat diperkirakan yaitu berada
antara harga 0,5 dan 0,6. Harga yang diperoleh ini tentunya kurang memuaskan kita,
karena kesalahan pembacaan terhadap grafik tersebut relatif besar. Atau penyelesaian
yang relatif jauh dengan harga eksaknya.
Untuk memberikan hasil yang lebih memuaskan dibandingkan dengan metode
grafik ini, metode analisis numerik mengenalkan beberapa metode numerik untuk
pencarian akar persamaan non linier. Di bab yang akan datang metode-metode tersebut
akan dibahas secara lebih detail. Sebagai gambaran konkrit, dengan menggunakan
metode Newton Raphson, proses pencarian harga x dapat ditampilkan pada tabel 4.1 di
bawah ini.
3
Iterasi ke harga x
1 1.000
2 0.368
3 0.692
4 0.500
5 0.606
6 0.545
7 0.579
8 0.560
9 0.571
10 0.564
11 0.568
12 0.566
13 0.567
14 0.567
15 0.567
Tabel 4.1. Prose pencarian harga x untuk persamaan
Metode-metode numerik harus ditemukan untuk memecahkan masalah yang
demikian. Suatu metode numerik (atau kombinasi dari metode-metode numerik) yang
bisa digunakan untuk memecahkan suatu masalah sering disebut dengan algoritma. Suatu
algoritma merupakan seperangkat prosedur lengkap dan gamblang yang memberikan
kode terhadap penyelesaian suatu masalah matematis. Hasil yang diperoleh dari
penyelesaian suatu masalah matematis tersebut akan dipengaruhi oleh berbagai macam
sumber kesalahan (error).
Analisa numerik juga harus memperhatikan seberapa ketelitian yang diharapkan,
mengestimasi besarnya kesalahan pembulatan dan kesalahan diskretisasi, menentukan
ukuran langkah yang sesuai atau cacah iterasi yang diperlukan, menyediakan alat untuk
mengecek ketelitian dan membuat kelonggoran pada koreksi terhadap nonkonvergen.
Efisiensi dari setiap metode numerik atau algoritma juga harus diperhatikan.
Sebuah algoritma akan dihindari penggunaanya manakala dalam menyelesaikan suatu
masalah harus membutuhkan waktu komputasi yang terlalu panjang. Tahap akhir
penyelesaian suatu masalah matematis adalah pemrograman. Algoritma tersebut harus
bisa ditransformasi menjadi seperangkat instruksi selangkah demi selangkah untuk tujuan
penghitungan melalui komputer.
Sumber- Sumber Kesalahan
Ada dua sumber kesalahjan terpenting di dalam pembahasan tentang analisis
numerik. Dua kesalahan tersebut adalah kesalahan pemotongan (truncation error) dan
kesalahan pembulatan (round-off error). Kesalahan pemotongan disebabkan oleh
pendekatan yang digunakan dalam ungkapan matematisnya. Sebagai contoh konkrit,
ketika kita melakukan hampiran terhadap suatu harga di dekat harga yang telah kita
ketahui, maka kita biasa menggunakan deret Taylor untuk menghampiri harga tersebut.
Nah seberapa ketelitian yang kita inginkan melalui penghampiran tersebut dapat
dilakukan dengan memotong deret Taylor sampai ketelitian yang kita harapkan tersebut.
Kesalahan pembulatan berhubungan erat dengan proses aritmatika terutama
operasi penambahan, pengurangan, perkalian maupun pembagian. Keterbatasan untuk
meng-cover seluruh hasil dari operasi matematika tersebut menyebabkan hanya sebagian
4
angka-angka saja yang diambil aatau ditampilkan. Inilah yang yang disebut sebagai
kesalahan pembulatan.
Sebagai contoh konkrit, ketika kita ingin memperoleh harga sebenarnya dari p
yang merupakan hasil operasi matematis dari 7
22 . Jika hasil operasi pembagian tersebut
diinginkan tampil enam digit dibelakang koma, maka hasilnya adalah
p = 3,142857 (1-1)
Selanjutnya, jika kita mengingkan ada sepuluh degit dibelakang tanda koma, maka
hasilnya akan tampak sebagai
p = 3,1428570747 (1-2)
Dari harga pendekatan untuk p pada ungkapan (1-1) dan (1-2) terlihat dengan jelas
bahwa ungkapan (1-1) adalah merupakan pembulatan angka dari (1-2). Sebaliknya, angka
pendekatan pada ungkapan (1-2) juga merupakan pembulatan dari angka pendekatan
yang memiliki digit angka lebih banyak dari (1-2) tersebut. Jika kita mengingkan harga
hampiran hingga tujuh belas angka dibelakang koma, maka dapat ditunjukkan sebagai
p = 3,14285707473754883 (1-3)
Untuk kedua jenis kesalahan tersebut, yaitu kesalah yang disebabkan oleh
pemotongan dan pembulatan maka hasil eksak dari suatu proses matematis adalah
merupakan jumlahan dari harga hampiran dengan kesalahan perhitungannya. Jadi kalau
dinyatakan dalam sebuah ungkapan adalah
(1-4)
Dari hubungan (1-4) tersebut dapat ditarik sebuah kesimpulan bahwa kesalahan numerik
yang terjadi dari suatu proses matematis merupakan selisih dari harga sebenarnya dengan
harga hampirannya
(1-5)
5
Harga Eksak = Harga Hampiran + Kesalahan
Kesalahan = Harga Eksak - Harga Hampiran
Oleh karena sumber kesalahan tidak hanya disebabkan oleh pemotongan atau
pembulatan saja, maka dikenal kesalahan relatif yang dapat didefinisikn sebagai
Re = ´ 100%
KesalahanTotal
Kesalahan latif Kesalahan Lokal (1-6)
Deret Taylor
Penyelesaian numerik merupakan penyelesaian hampiran dari penyelesaian
eksaknya. Metode numerik didasarkan pada penghampiran fungsi dengan polinomial.
Oleh sebab itu, seberapa ketelitian dari penghampiran kita terhadap suatu harga fungsi
sama dengan seberapa ketelitian polinomial yang kita gunakan untuk menghampiri fungsi
tersebut.
Deret Taylor merupakan deret pangkat tak berhingga untuk menghampiri sebuah
fungsi di dalam suatu radius tertentu di sekitar titik yang diberikan. Dengan
membandingkan antara penyelesaian eksaknya dengan hampiran polinomial fungsi, maka
akan terlihat adanya selisih harga. Perbedaaan yang terjadi antara harga eksak dengan
harga hampiran disebabkan oleh pemotongan yang kita lakukan terhadap ekspansi Taylor
polinomial tersebut. Disini jelas bahwa sumbangan terhadap kesalahan perhitungan sudah
mulai diberikan. Di dalam metode numerik, pemotongan terhadap ekspansi Taylor ini
sering dilakukan mengingat esensi dari metode numerik adalah suatu penghampiran
terhadap suatu harga eksak.
Sekarang, kita akan menunjukkan wujud dari ekspansi Taylor dari sebuah fungsi
f (x) . Jika fungsi f (x) analitik disekitar 0 x = x , maka di sekitar titik 0 x = x dapat
dihampiri oleh deret Taylor yang merupakan deret pangkat tk berhingga yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
0
0
5
0
0
4
0
0
3
0
0
2
0
0
0
0
!
'''''
5!
''''
4!
'''
3!
''
2!
'
1!
f x
n
x x
f x
x x
f x
x x
f x f x x x f x x x f x x x f x
n
- n
+ +
-
+
-
+
-
+
-
+
-
= +
⋯
(1-7)
Sebagai contoh, kita akan melakukan ekspansi Taylor terhadap sin(x) , cos(x)
dan exp(- x) di sekitar 0 x = x .
6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) + ⋯
-
+
-
+
-
-
-
= + - -
0
5
0
0
4
0
0
3
0
0
2
0
0 0 0
cos
120
sin
24
cos
6
sin
2
sin sin cos
x
x x
x
x x
x x x x x x x x x x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) + ⋯
-
-
-
+
-
+
-
= - - -
0
5
0
0
4
0
0
3
0
0
2
0
0 0 0
sin
120
cos
24
sin
6
cos
2
cos cos sin
x
x x
x
x x
x x x x x x x x x x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (- ) - ⋯
-
- +
-
-
-
-
- = - - - - +
0
4
0
0
3
0
0
2
0
0 0 0
exp
24
exp
6
exp
2
exp exp exp
x
x x
x
x x
x x x x x x x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) + ⋯
-
+
-
+
-
= + - +
0
4
0
0
3
0
0
2
0
0 0 0
exp
24
exp
6
exp
2
exp exp exp
x x x x x x
x x x x x x x x
(( ) ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (- ) - ⋯
-
- +
-
-
-
-
+ - = + - - - - +
0
4
0
0
3
0
0
2
0
0 0 0 0
exp
24
exp
6
exp
2
ln 1 ln 1 exp
x
x x
x
x x
x x x x x x x x x x
7