Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Newton Raphson

A. PENDAHULUAN
1. TUJUAN
1. Mempelajari metode Newton Raphson untuk penyelesaian persamaan non linier
2. Mencari akar persamaan non linier dengan metode Newton Raphson
2. DASAR TEORI
Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan gradien pada titik tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :

Secara geometri, metode Newton Raphson ini hampir sama dengan metode posisi palsu (Regula Falsi), bedanya garis yang dipakai adalah garis singgung. Dengan menggunakan x0 sebagai terkaan awal, dilanjutkan dengan mencari titik (x0, f(x0)). Kemudian dibuat garis singgung dari titik (x0, f(x0)), sehingga diperoleh titik potong (x1, 0) antara sumbu-x dan garis singgung titik (x0, f(x0)). Kemudian dilanjutkan lagi dengan mencari titik (x1, f(x1)). Dari titik (x1, f(x1)) kemudian dibuat garis singgung, sehingga diperoleh titik potong (x2, 0) antara sumbu-x dan garis singgung titik (x1, f(x1)).
Metode newton raphson dapat digambarkan sebagai berikut :

a. Algoritma dan diagram alur Metode Newton Raphson :
Adapun algoritma program metode Newton Raphson yakni :
1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f1(x0)
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)| ≥ e

Hitung f(xi) dan f1(xi)
6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.
Sedangkan diagram alur metode Newton Raphson:

B. PEMBAHASAN
Untuk memahami metode Newton Raphson lebih lanjut maka kita mengambil contoh penyelesaian kasus berikut :
Carilah penyelesaian persamaan di bawah ini dengn metode Newton Rapshon:
F(x) = 3x+sin x-
Penyelesaian :
Langkah 1: Mencari turunan pertama dan kedua dari f(x), yaitu :
f’ (x) = 3+cos x-
= -sin x-
Langkah 2: menentukan titik x1, missal x1 = 0.5 maka didapatkan :
f(x1)= 3x1 + sin x1 - = 0,33070
f’(x1) = 3 + cos x1- = 2,22886
f’’(x1) = -sin x1 - = -2,12815
jadi :

Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan:


n =1

n=2

Proses iterasi ini dilanjutkan terus sampai didapatkan nilai x yang tidak berubah atau hampir tidak berubah.
Penyelesaian diatas sampai nilai f(x) lebih kecil dari . di dapatkan x = 3.604217027-01 dimana f(x) =6.6029315349E-09.
Dari contoh kasus di atas serta penyelesaiannya dapat dilihat bahwa metode Newton Raphson sangat sederahana.
C. KESIMPULAN
1. Metode Newton Raphson adalah salah satu metode untuk penyelesaian persamaan non linier dimana metode ini merupakan metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan gradien pada titik tersebut.
2. Untuk contoh kasus pada f(x) = 3x+sin x- diperoleh x = 3.604217027-01 dimana f(x) =6.6029315349E-09.
D. DAFTAR PUSTAKA
Anonim. 2007. Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Newton Raphson. Surabaya, ITS.
Arhami, Muhammad. 2004. Pemrograman MATLAB. Yogyakarta, Andi.
Paturrohman, Ghofar.-.Modul Metode Numerik. –
Supardi. 2008. Modul Analisis Numerik. Yogyakarta, Fisika UNY.